五月 15, 2020
五月 15, 2020

您應該為每注投入多少注金?

期望值和預期效用說明

不確定的效用

如何計算最佳本金金額?

您應該為每注投入多少注金?

若要嬴得運動投注的彩金,您需要有正期望值的投注策略,即預估您的每筆注金嬴得的平均彩金。但每注應該投入多少本金才能獲得最大利潤?為此,您需要瞭解效用的概念。繼續閱讀以深入瞭解。

期望值,這是一個首先由法國數學家 Pascal 和 Fermat 在 17 世紀探討的概念,當時他們試著解決點數遊戲的問題。這個值向我們展示了我們可以期望從投注中嬴得的平均值,但對於注者應承擔多少資本的風險並沒有太多的著墨。以下是預期的效用如何作用的說明。 

期望值和預期效用說明

投注的期望值 (EV) 計算方式是以您嬴的機率乘以您每注嬴的金額,然後減去輸的機率乘以每注輸的金額。由於輸的機率等於 1(或 100%)減去嬴的機率,我們將計算方式簡化如下:
expected-utility-betting.jpg

‘o’ 代表博彩業者提供的歐洲小數點賠率。期望值對任何投注者都是最重要的數字,因為它可以讓投注者預測長期而言他們會嬴錢或輸錢。

投注者找出期望值後,他們必須決定他們要投注多少 資本。18 世紀的數學家 Daniel Bernoulli 瞭解到,只有魯莽的人會根據與投注的主觀結果無關的客觀期望值(也就是要得到或失去的期望)做出要冒多少風險的決定。這種主觀的期望稱為效用。

不確定的效用

我們拿到兩個寶箱。第一個裏面有現金 €10,000。第二個寶箱裏面有現金 €20,000 或什麼都沒有,我們不確定有什麼,但選到每一項的機率相同。現在要求您取走其中一個寶箱。您會選擇哪一個?

"然而,Kelly 的方法在技術上可以讓嬴的投注者最大化他們的長期資金。"

這是典型的效用謎題。就數學而言,這兩個寶箱有相同的期望值,也就是 €10,000。如果您可以無限重複這個遊戲,那麼您選擇哪一個寶箱並沒有差別。但在此遊戲中,您只被允許玩一次。大數法則不適用。

如果您選擇第一個寶箱,您確定可以得到 €10,000。如果您選擇第二個,您得到的是機會,如果運氣好就得到 €20,000,如果運氣不好就什麼都沒有。這不令人意外,即使有這些獎金,大多數的人會選擇第一個寶箱。

從效用的角度來看,確定得到 €10,000 一定遠比冒著什麼都得不到的風險好。人們在確定情況下比在有相同數學期望值的博弈中找到更大的效用證明了對於風險的規避。

如何計算最佳本金金額?

Daniel Bernoulli 推論出在不確定的情況下,人們做決定時的標準理智行為是規避風險。他將他的假設量化,因此得到:「任何財富小幅增加帶來的效用與之前擁有的貨物數量成反比。」也就是說,您已有的財富越多,嬴的時候感受到的效用越小。這種效用函數是對數函數,就是所謂的財富邊際效用遞減。

"雖然採用 Kelly 準則會導致報酬大幅波動,但可以讓嬴的投注者將他們的長期資金最大化"

Daniel Bernoulli 的理論廣為許多投注者所知的實際應用之一就是 Kelly 準則。這個準則由 John Kelly 於 1956 年在 AT&T 的貝爾實驗室工作時為了解決長途電話雜音的問題而發展出來,很快就受到博弈者和投資者的採用,作為最佳化資金管理和利潤成長的方式。

Kelly 的動機和 Bernoulli 的完全不同,他的準則在數學上等於對數效用函數。實際上,這會引導投注者將他的整體財富的一部份投入在與期望值 (EV) 成正比,並與獲勝機率成反比的投注上。

EV = po – 1(其中的 p 是成功的 ‘true’ 機率,o 是注金的小數賠率),我們可以如下所示計算 Kelly 本金百分比 (K):

kelly-criterion-betting.jpg
本質上,Kelly 準則將期望的對數效用最大化。使用 Kelly 準則投注的其中一個結果是報酬會有很大幅度的波動,這一點可能不符合每個人的效用。此外,它的運用需要精準預估結果的 "true" 機率。 

然而,Kelly 的方法在技術上可以讓嬴的投注者最大化他們的長期資金。當然,要這樣做,投注者需要不會被懷疑有像 Kelly 一樣的特定資金管理策略的博彩業者,而且更重要的是,不會為了嬴而限制投注。在這方面,Pinnacle 有著獨一無二的聲譽。

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