Justering av sannolikheten för kryss i fotboll

Den vanligaste modellen för att förutsäga resultat i fotbollsmatcher är Poisson-modellen (eller varianter av den). Det enklaste sättet är att utgå från ett parametervärde för förväntat antal mål för respektive lag och sedan förutspå slutresultatet.

I en Poisson-modell är hemmalagsparametern ligans genomsnittliga hemmaresultat multiplicerat med en anfallsfaktor baserad på hemmalaget och en försvarsfaktor baserad på bortalaget. Den förstnämnda justerar hemmalagets målfördel till bortalagets försvarsstyrka (ju starkare försvar desto färre målchanser) medan den senare tar hänsyn till hemmalagets målkapacitet. Bortalagets förväntade antal mål utvärderas på ett liknande sätt men med hjälp av bortalagets målgörarfaktorer och hemmalagets försvarsfaktorer.

Poisson-modellers begränsningar

Precis som med alla andra modeller finns det begränsningar när man förutspår resultatet av en fotbollsmatch med hjälp av Poisson – nämligen att utfallen är känsliga för ändringar av parametrarna.

Den faktiska sannolikheten för att matchen slutar 0–0 är mycket högre för lag som gör många mål eftersom sådana lag ofta drar ner på tempot om matchen förblir mållös en bra bit in i matchen.

Poisson-modellen förutsätter också att när parametrarna för förväntat antal mål väl är inställda är antalet mål som varje lag gör oberoende av varandra. Detta regleras visserligen en aning med hjälp av försvars- och anfallsstyrkorna, men kan man verkligen förvänta sig att sannolikheten för att bortalaget gör fem mål förblir oförändrad oavsett om hemmalaget gjort fem eller noll mål? 

Den viktigaste begränsningen är antagandet att skillnaden i antal mål som görs per lag motsvarar det förväntade antalet mål. Detta är en egenskap hos Poisson-fördelningen. Det finns bra sätt att hantera detta som till exempel överdispergerade (eller underdispergerade) Poisson-modeller och den bivariära Poisson-modellen, men de ligger utanför den här artikelns omfång.

En av de kombinerade effekterna av dessa Poisson-begränsningar är bristen på prediktiv förmåga för slutresultatet 0–0. Själv har jag en känsla av att Poisson-modellen tenderar att underskatta sannolikheten för att lag med många förväntade mål ska spela 0–0.

Den faktiska sannolikheten för att matchen slutar 0–0 är mycket högre för lag som gör många mål eftersom sådana lag ofta drar ner på tempot om matchen förblir mållös en bra bit in i matchen. Omvänt kan lag som brukar göra få mål spela med högre tempo fram till att det första målet görs. En vanlig Poisson-modell skulle inte fånga upp detta och följaktligen överskatta sannolikheten för 0–0. Med detta sagt är det här bara en känsla jag har. Om någon är villig att dubbelkolla får den personen gärna höra av sig till mig.

Så justerar du sannolikheten för kryss

Ett användbart tillvägagångssätt är att justera sannolikheten för 0–0 samtidigt som man justerar sannolikheten för övriga utfall i enlighet därmed. Detta kan göras via en femstegsprocess enligt följande enkla exempel:

Steg 1: Beräkna parametrarna för förväntat antal mål per lag

Det här steget kan ta tid om du inte automatiserar det. Benjamin Cronin förklarar det utmärkt i sin artikel om Poisson-fördelning. För enkelhets skull antar vi att de slutliga genomsnittliga målparametrarna är 1,7 och 1,2 för hemmalaget respektive bortalaget (det här är bara slumpmässiga siffror). 

Steg 2: Beräkna sannolikheten för hur många mål som varje lag kommer att göra

Detta kan beräknas med hjälp av en formel. Ett färdigt exempel finns i länken ovan. I det här fallet använder vi sannolikhetsfördelningen för antalet mål med hjälp av formeln enligt följande: 

Steg 3: Beräkna sannolikhetsfördelningen för möjliga slutresultat

Vi kan nu multiplicera sannolikheterna för de olika slutresultaten. Till exempel är sannolikheten för slutresultatet 0–0 följande: 18,3 % x 30,1 % = 5,5 %. Resultaten visas nedan. Observera att dessa tal inte uppgår till 100 % sammanlagt på grund av möjligheten till andra slutresultat (till exempel 5–1). Vi kan tillägga att sannolikheten för övriga slutresultat är 3,7 %.

Steg 4: Beräkning av justeringsparameter för slutresultatet 0–0 

Här kan ett visst mått av subjektivitet komma in i bilden. Låt oss exempelvis anta att tidigare statistik tyder på att slutresultatet 0–0 har en sannolikhet på 10 %. Därmed skulle vi behöva öka sannolikheten från 5,5 % till 10 %. 

Justeringsparametern kan beräknas som:

Genom att representera detta med symbolen α får vi fram att:

Det innebär att vi ökar sannolikheten för ett mållöst kryss med 82 %. Eftersom den ökade från 5,5 % till 10 % måste de övriga sannolikheterna minska sin kumulativa sannolikhet lika mycket så att summan av alla utfall förblir 100 %. 

Steg 4: Beräkning av justeringsparametern för övriga slutresultat

Om vi representerar den här faktorn med symbolen β kan vi använda följande ekvation:

I det här fallet får vi β=(1-0,1)/(1-0,055)=0,95

Steg 5: Fyll i den justerade tabellen igen

Vi kan nu äntligen räkna om sannolikheten för olika slutresultat genom att multiplicera sannolikheten för 0–0 med α och resten med β. Vi får då följande resultat. Sannolikheten för övriga slutresultat är 3,5 %. 

Vad har vi lärt oss om justering av Poisson-modeller?

I den här artikeln gick vi igenom hur man justerar en traditionell Poisson-modell för att ta hänsyn till förändrad sannolikhet för mållösa kryss. Modellen kan utökas för att möjliggöra justering av vilket slutresultat som helst så länge sannolikheterna för alla andra slutresultat också justeras så att de sammanlagt utgör 100 %.

Det finns fler sätt att ändra sannolikheten för vissa resultat. Till exempel presenterade Dr Alun Owen ett eventuellt bättre tillvägagångssätt på MathSport-konferensen i juni som involverade en trunkerad Poisson-modell. 

Justeringen minimerar inte Poisson-modellers begränsningar, varav några tas upp tidigare. Faktum är att den lägger till andra antaganden – nämligen den antagna sannolikheten för ett mållöst kryss och att alla andra sannolikheter justeras i samma takt β. Trots detta kan Owens förslag vara en förbättring jämfört med traditionella modeller som tenderar att under- eller överskatta sannolikheten för mållösa kryss.